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1 图论应用1.1 最小生成树有两种方法普里姆算法和克鲁斯卡尔算法实际计算建议采用克鲁斯卡尔算法。克鲁斯卡尔算法将图中所有的边按权值从小到大排序从权值最小的边开始选取判断是否为安全边(即不构成环),直至选取了n-1条边构成了最小生成树。最小生成树并不唯一但权值之和都相等且最小只要求出一个就可以。1.2 最短路径计算从起点到终点的最短路径注意与关键路径截然相反不要混淆。方法从起点开始依次向终点推导每个经过的中间节点都直接计算出到该中间节点最短的路径这样递归推导到终点就是最短路径。1.3网络与最大流量计算从一个节点到另一个节点的最大运输能力取决于节点之间运输能力的短板首先看有多少条路径可走最大流量等于所有路径最大流量之和而每条路径的最大流量是节点之间运输能力最小的流量决定的(短板决定)。解题技巧1、取每条路径上的最小权值即为此条路径的最大流量每次走完一条路径后需要实时修改此条路径还剩下的运输流量值若为0,则删掉此连线。2、重复第1步直至从起点到终点无路径连通而后将每条路径上的流量相加得到整体最大流量。2 运筹方法2.1 线性规划在一组约束条件下来寻找目标函数的极值(极大值和极小值)问题。线性规划问题的数学模型通常由线性目标函数、线性约束条件、变量非负条件组成(实际问题中的变量一般都是非负的)。线性规划问题就是面向实际应用求解一组非负变量使其满是给定的一组线性约束条件并使某个线性目标函数达到极值。满是这些约束条件的非负变量组的集合称为可行解域。可行解域中使目标函数达到极值的解称为最优解。线性规划问题的最优解要么是0个(没有),要么是唯一的(1个),要么有无穷个(只要有2个就会有无穷个)。在实际应用中可以直接求约束条件方程组的解即是交叉点将这些解代入到目标函数中判断是否极值即可。2.2 动态规划求解给定多种方案求出最佳方案的问题。直接运用动态规划法的原理来解题非常复杂因此一般采用穷举法解题依据真题规则将题目给出的所有投资方案全部穷举出来所有方案获得的收益一目了然然后取最佳投资方案简单明了不容易错。2.3伏格尔法针对多种解决方法问题如多个煤场供给多个工厂的运输成本。从正常思维来思考在没有任何约束条件的情况下我们会优先考虑运输成本最低的方案这就是最小元素法但是当有多个制约因素时最小元素法的缺点是为了节约一处的费用有时造成在其他处要多花几倍的运费。因此多个因素互相制约时普遍采用伏格尔法又称差值法该方法考虑到某产地的产品如不能按最小运费就近供应就考虑次小运费这就有一个差额。差额越大说明不能按最小运费调运时运费增加越多。因而对差额最大处就应当采用最小运费调运。由上述原理可得出其解题步骤为1、计算出每行每列的最小运费和次小运费的差值(绝对值)。2、从这些差值里选出最大的的行(列),定位到该行(列),从该行(列)中找出最小的那一个就是优先供应的方案。3、供应后更新供应量和需求量如果某行(列)的供应量和需求量为0,则删除该行列。4、形成一个人新的表格重复上述步骤。详细例题解析见文老师视频课程讲解。2.4博弈论研究具有竞争和对抗性质的行为的数学理论和方法。参加竞争的各方都有各自的目标和利益各方为了达到自己的目标必须要研究对手的资料博弈论就是研究如何在多方中寻找出一个最合理的 方案。参与博弈的双方处于竞争状态双方都不能信任对方因此都只会采用对自己有用的方案而这种方法对双方来说并不是最优的但因为双方都不信任要只能这样。如下所示2.5状态转移矩阵两个产品之间的状态会互相转变给出一个状态转换矩阵表明了两个产品随着时间的变化该如何转变求解一定时间后两个产品的状态。解题技巧当前两个产品的状态依赖于之前一个阶段的状态以及状态转移矩阵系数。2.6 排队论求解排队问题即检票和排队速度不对等时如何达到一个平衡的问题。解题技巧要学会假设一般对检票速度、排队人数都要做出未知数假设然后列出多个方程求解出未知数之间的关系再进行推导。2.7 决策论按决策环境分类确定型决策决策环境是确定的结果也是确定的。风险决策决策环境是不确定的但是结果发生的概率是一致的。不确定型决策决策环境不确定且结果也不确定完全凭主观意识来决定。决策的六个要素决策者、可供选择的方案(包括行动、策略)、衡量选择方案的准则(目的、目标、正确性等)、事件(被决策的对象)、每一事件的发生将会产生的某种结果、决策者的价值观。不确定型决策决策者对环境一无所知任意猜测完全凭借与决策者自身价值观有五种准则(建立环境与方案的表格每个环境每种方案对应一个收益):悲观主义准则(小中取大 max(min),先取每个方案最小的收益再取所有最小收益中最大的那个);乐观主义准则(大中取大 max(max),先取每个方案最大的收益再取所有最大收益中最大的那个);折中主义准则(设定折中系数 a,用每个方案的最大收益*a最小收益*(1-a),选择每个方案中计算结果最大的那个可知a1时为乐观主义a0时为悲观主义);等可能性准则(设定每个可能的结果的发生都是等可能的这样就知道每个结果发生的概率即将不确定型的问题转换为了风险决策问题);后悔值准则(最小最大后悔值min(max),在不同的环境中(之前都是方案),投资方案获得的最大收益-当前选择的收益后悔值将所有后悔值中每个方案的最大后悔值选出再从这些最大的后悔值中选择最小的即可)风险决策(决策树和决策表)对环境不了解但是对即将发生的结果的概率了解一般题目会给出每个结果对应的收益及风险概率然后将每种结果产生的收益*此种结果发生的概率取收益最大的即可与风险曝光度类似。3 数学建模数学建模是一种数学的思考方法是运用数学的语言和方法通过抽象和简化建立能近似刻画并解决实际问题的模型的一种强有力的数学手段。数学建摸过程模型准备了解问题的实际背景明确其实际意义掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问 题。模型假设根据实际对象的特征和建模的目的对问题进行必要的简化并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立在假设的基础上利用适当的数字工具来刻划各变量之间的数学关系建立相应的数学结构。只要能够把问题描述清楚尽量使用简单的数字工具。模型求解利用获取的数据资料对模型的所有参数做出计算(估计)。模型分析对所得的结果进行数学上的分析。模型检验将模型分析结果与实际情形进行比较以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合则要对计算结果给出其实际含义并进行解释。如果模型与实际吻合较差则应该修改假设再次重复建摸过程。模型应用应用方式因问题的性质和建模的目的而异。数学建模方法直接分析法根据对问题直接的内在的认识直接构造出模型。类比法根据之前类似的模型构造出一个新的模型。数据分析法通过实验获得与问题相关的大量数据用统计分析的方法来进行建模。构想法对将来可能发生的情况给出逻辑上合理的方法和描述而后用现有的方法来建模然后不断的完善。
