【电路笔记 信号】传输线方程：从RLGC推导传输线特性阻抗

传输线频域常微分方程组dV(x)dx−Z⋅I(x)— (式1)\frac{dV(x)}{dx} -Z \cdot I(x) \quad \text{--- (式1)}dxdV(x)​−Z⋅I(x)— (式1)dI(x)dx−Y⋅V(x)— (式2)\frac{dI(x)}{dx} -Y \cdot V(x) \quad \text{--- (式2)}dxdI(x)​−Y⋅V(x)— (式2)其中复阻抗参数串联阻抗ZRjωLZ R j\omega LZRjωL并联导纳YGjωCY G j\omega CYGjωC解二阶线性常微分方程其通解为行波解前向波与后向波的叠加V(x)V0e−γxV0−eγxV(x) V_0^ e^{-\gamma x} V_0^- e^{\gamma x}V(x)V0​e−γxV0−​eγx其中V0e−γxV_0^ e^{-\gamma x}V0​e−γx代表沿xxx方向传播的入射波。V0−eγxV_0^- e^{\gamma x}V0−​eγx代表沿−x-x−x方向传播的反射波。特性阻抗Characteristic Impedance的物理定义是在单向行波无反射即V0−0V_0^- 0V0−​0的情况下同一位置的电压行波与电流行波的比值。此时V(x)V0e−γxV^(x) V_0^ e^{-\gamma x}V(x)V0​e−γx带入式1dV(x)dx−Z⋅I(x)\frac{dV(x)}{dx} -Z \cdot I(x)dxdV(x)​−Z⋅I(x)dV(x)dx−γV0e−γx−Z⋅I(x)\frac{dV^(x)}{dx} -\gamma V_0^ e^{-\gamma x} -Z \cdot I^(x)dxdV(x)​−γV0​e−γx−Z⋅I(x)电流前向波I(x)γZV0e−γx电流前向波I^(x) \frac{\gamma}{Z} V_0^ e^{-\gamma x}电流前向波I(x)Zγ​V0​e−γx根据定义特性阻抗Z0Z_0Z0​为Z0V(x)I(x)V0e−γxγZV0e−γxZγZ_0 \frac{V^(x)}{I^(x)} \frac{V_0^ e^{-\gamma x}}{\frac{\gamma}{Z} V_0^ e^{-\gamma x}} \frac{Z}{\gamma}Z0​I(x)V(x)​Zγ​V0​e−γxV0​e−γx​γZ​将γZY\gamma \sqrt{ZY}γZY​代入Z0ZZYZYZ_0 \frac{Z}{\sqrt{ZY}} \sqrt{\frac{Z}{Y}}Z0​ZY​Z​YZ​​Z0RjωLGjωCZ_0 \sqrt{\frac{R j\omega L}{G j\omega C}}Z0​GjωCRjωL​​Z0Z_0Z0​的单位是欧姆但它并不是某段物理导线的电阻而是波在传输线中传播时电场电压与磁场电流之间天然具有的比例关系。如果传输线无限长向前方传播的波会永远看到这个固定的阻抗响应。